フィボナッチ数

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フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ

初項と第2項を1とし、第3項以後次々に前2項の和をとって得られる数列。つまり、
a₁＝1, a₂＝1, a_n＋1＝a_n＋a_n-1
(n＝2, 3, 4,……)
で表され、
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……
という数列となる。これはフィボナッチが『算術の書』（1202）のなかで、次のような問題として提起したものである。「一つがいのウサギは、生まれて2か月後から、毎月一つがいの子供を産むとする。初めの生まれたての一つがいがいるとき、1か月後、2か月後、……のウサギのつがいの総数を求めよ」。

フィボナッチ数列の相隣る項の比をとってできる数列a₂/a₁, a₃/a₂,……つまり、
1, 2, 5/3, 8/5,……
は、無限連分数

を途中で打ち切って得られる分数の列である。この分数列は （1＋）／2 に収束する。この極限値は、黄金比（黄金分割の比）として、古来、重要視された数である。a_nは、

と表すことができる。

占い用語集 「フィボナッチ数列」の解説

フィボナッチ数列

「フィボナッチ」は１２～１３世紀に実在したイタリアの数学者のこと。数列は、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, フィボナッチ数 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, フィボナッチ数 17711, 28657. となり、どの項も、その前の2つの項の和となる。「フィボナッチ数列」は自然界に数多く存在し、例として「花の花弁の枚数が3枚、５枚、８枚、１３枚のものが多い」・「ひまわりの種は螺旋状に２１個、３４個、５５個、８９個・・・と並ぶ。」などが挙げられる。

デジタル大辞泉 「フィボナッチ数列」の解説

フィボナッチ‐すうれつ【フィボナッチ数列】

《 Fibonacci numbers 》数学で、最初の二項が1で、第三項以降の項がすべて直前の二項の和になっている数列。すなわち、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…という数列のこと。イタリアの数学者レオナルド＝フィボナッチの名にちなむ。

世界大百科事典 内の フィボナッチ数列 の言及

【黄金分割】より

…正五角形の同じ頂点を通らない2本の対角線は互いに他を黄金分割する(図3)。1,1よりはじめて順次に前の2項の和をつくることによって得られる数列 1,1,2,3,5,8,13，……をフィボナッチ数列というが，この数列より相隣る2項の比をつくることによって得られる分数の数列 1/1，1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，……は黄金比に近づく。黄金比は連分数により次のように表される。…

神秘「フィボナッチ数列」とは？｜ウサギのつがいの問題と黄金比との関連も解説

仲の良さそうなうさぎのつがい / credit:Unsplash

1202年の著作『計算の書』には、「ウサギのつがいの問題」と呼ばれている有名な問題が掲載されています。実は、この本の著者であるレオナルド・ピサノは、現在では「フィボナッチ」の名で知られている数学者です。

それでは0ヶ月後～4ヶ月後について、一つずつ具体的に考えてみましょう。

0ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギしかいません。そのため、合計1つがいです。

1ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後1ヶ月となります。まだ、子どもを産まないので、合計1つがいです。

2ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後2ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。したがって、2ヶ月後にいるウサギのつがいは、

の合計2つがいです。

3ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後3ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

の合計3つがいです。

4ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後4ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

の合計5つがいです。

表：うさぎのつがい問題0ヶ月〜4ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」（表のデザインはナゾロジー編）

以上を合計すると、2+3+3つがい、つまり、5ヶ月後は合計8つがいとなるのです。

表：うさぎのつがい問題5ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」（表のデザインはナゾロジー編）

数学のニュース mathematics news

ここ数十年の間、「数学の未解決問題」が話題になる機会が多くなっています。 1990 年代には 17 世紀から未解決だった超難問のフェルマー予想が解決、2000 年代にはミレニアム懸賞問題として有名なポアンカレ予想が解決、そして最近では ABC 予想解決の ニュースが世間を賑わせました。 しかし、まだまだ「数学の謎は全て解けた！」なんてことはなく、未解決問題は多数残されています。中には、問題自体は小中学生でも十分理解できるものもあるのです。 今回は、そんな「一見簡単そうな未解決問題」を紹介していきます。

「フェルマーの最終定理」この名前は数学に興味があってもなくても一度は耳にしたことのある有名な問題でしょう。 この問題は1995年にイギリス生まれの数学者アンドリュー・ワイルズによって証明され最終的な解決を迎えましたが、その裏には数世紀に渡る、数々の数学者たちのドラマが潜んでいます。 ワイルズ1人の知恵だけでは、この問題を解決することはできなかったでしょう。 ワイルズは直接「フェルマーの最終定理」を証明したわけではなく、この問題とはまるで無関係に見える、ある日本人数学者の「予想」を証明することで、この長年の問題に終止符を打ちました。 難しい数学の証明には興味がないという人も、「フェルマーの最終定理」にまつわる数学ドラマを聞けば、その複雑な証明がどうやって実現したかわかるかもしれません。 ここでは「フェルマーの最終定理」が解かれれるまでのいきさつを、2回に分けて解説していきます。

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