フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ

葉の付き方は「葉序（ようじょ）」と呼ばれており、どの程度の角度でずれるかは植物の種類によって決まっています。

フィボナッチ数列・リュカ数列・・・黄金比

もっともそれぞれの級に明確な境界を決めることには、英語学習という観点からは意味がないことなので、その辺は曖昧さがあって構わなくどんな方法でも良いのですが、最高水準特進問題集、シリウス発展編Vol3、もしくは、Progress in English R Book3のレベルまではマスターしているでしょうか、ということでしょう。そして、その部分こそが、61.8%を占める部分なのです。残りの38.2%は、２級の過去問を使って、語彙力強化や演習で埋めていくのです。そして、その努力は、さらに上の級の学習の足がかりとなることでしょう。

０から１を生み出す方法

上のグラフを注意深く見てみると、英検５級にはオレンジ色の基礎の部分がありませんね。それもそのはず、英検は５級からスタートするからなのです。学習のやりかたを理解しや学習リズムが整いさえすれば、家庭学習で少しずつ級を上げることが可能でしょうが、最初はうまくいかないかもしれません。ドミノ倒しのように、最初だけは外部の力（学校の授業など）が必要かもしれない、とこのグラフは語っている気がしました。小学校から本格的に英語の授業が始まるらしいのですが、小年生の子を持つ親としては、まずは子供の英語への関心度を見る目的で、宿題等のサポートをしながら、折をみて、英検５級の過去問をさせてみると良いのかもしれません。学習者との相性もあるのでなんとも言えませんが、その後は、Progress in Englishを使い、基礎学力の向上（グラフのオレンジ色の部分）に努めるとともに、語彙力向上や演習を目的に、英検の過去問（薄いオレンジ色の部分）を投入していくと良いでしょう。

最後に人生訓！？

余談2
「前の2つの項を足すと現在の項になる」とは、私たちの日々の行動や人生選択についても当てはまりそうです。

初項（溜まったマイナス: -1000）に対して、第２項（リカバリー）では「黄金数の逆数 x 1000」に近い値を設定してみました。第３項以降は「前の2つの項の和」としています。面白いことがわかりましたね。マイナスとプラスが交互になっていたものが、①の場合には第９項以降で、②の場合には第１１項以降で、プラスに転換されています。

雑題ログ：フィボナッチ数列の問題

$n$を自然数とする。数列 $2,1,2,1,1$ のように各項が$1$または$2$の有限数列（項の個数が有限である数列）を考える。各項が$1$または$2$の有限数列のうちすべての項の和が $n$ となるものの個数を $s_n$ とする。例えば、$n=1$ のときは、$1$項 からなる数列$1$のみである。したがって、$s_1 = 1$ となる。$n=2$ のときは、$1$項からなる数列$2$と$2$項からなる数列$1,1$の$2$つである。したがって、$s_2 = 2$ となる。

（２）$n \geqq 3$ のとき, $s_n$を$s_$と$s_$を用いて表せ。

（３）$3$以上のすべての$n$に対して $s_-\alpha フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ s_ = \beta (s_ – \alpha フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ s_)$ が成り立つような実数 $\alpha,\,\beta$ の組$(\alpha,\,\beta)$を$1$組求めよ。

フィボナッチ数列の特徴を捉える上で欠かすことのできない「リュカ数列」に関する問題も蒐集しています。リュカ数列とは、フィボナッチ数列と同じ漸化式を満たし、初項が $a_1=1$、$a_2=3$ であるような数列です。フィボナッチ数列とリュカ数列の間には興味深い関係式が数え切れないほど存在します。

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管理人便り (2022/3/1記)

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黄金比と白銀比の違いとは？フィボナッチ数列、律動と均衡も画像で解説【造形美の理論①】

▲自然が創り出す造形は唯一無二の美しさ『ロウワー・アンテロープキャニオン』（アメリカ）

このような造形美には、色彩美と同じように「 絶対的な美の正解の方程式 」といったようなものは無いに等しいですが、美術や建築などさまざまな造形に使われている知識や技術があり、それらを理解することで古（いにしえ）の芸術家、建築家たちが生み出してきた美の表現に近づくことが出来ます。

統一、変化、支配

統一（ユニティ）

▲古典建築は全体が秩序だった法則によって建てられている『エレクテイオン』（ギリシャ）

統一（ユニティ） とは造形美の基本となるもので、全体として一定の秩序を感じさせる（調和している）状態のことです。

▲柱の装飾、太さや高さ、間隔に至るまで秩序だった法則によって作られていた古典建築は、もともと神殿や教会建築が主であったため、建築やインテリアに自由な「遊び」などは必要無かった。

出典：奥野崇建築設計事務所

【書院造のインテリア】書院造や床の間の特徴、寝殿造との違いも画像で解説 この記事では書院造のインテリアについてわかりやすく解説しています。 まずは寝殿造との違いについて理解をして、書院造の特徴である用語について覚えましょう。床の間の用語やエレメントについても画像を見ながら確認しましょう。インテリアコーディネーター、建築士などの資格勉強、歴史の勉強にも最適。ぜひご活用下さい。.

変化（バラエティ）

出典：WikimediaCommons

変化（バラエティ） とは、統一（ユニティ）の一部に無秩序な変化をもたせることです。

出典：ERIKA BRICHTEL

フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ 出典：HOME DESIGNING

変化（バラエティ）は建築やインテリアだけでは無くて、都市計画にも使われることがありますにゃ。均質な大規模建築が立ち並ぶ退屈な街並みにパブリックアートなどの無秩序な変化を加えることで、豊かな街並みを作るという働きがありますにゃ！

出典：Wikimedia Commons

支配（ドミナンス）

出典：AMBIENTE

支配（ドミナンス） とは統一（ユニティ）において、空間全体を「インテリアスタイル」「色合い」「大きさ」「素材」などの要素に支配的な役割を持たせることです。

出典：THE PRESENT TENSE フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ

絶対にチェックしておきたい海外の有名インテリアデザイナー３選 この記事では絶対にチェックしておきたい海外の有名インテリアデザイナー３選について紹介しています。今回はKelly Wearstler（ケリー・ウェアスラー）、Alyssa Kapito（アリッサ・カピト）、Sarah Sherman Samuel（サラ・シャーマン・サミュエル）の3名をご紹介します。.

調和（ハーモニー）

インテリア空間を構成している「材質」「色合い」「形」などの全体と部分、部分と部分の相互の関係が美的に融合していると感じられる空間の状態を 調和（ハーモニー） といい、逆に調和していると感じられない空間の状態を 不調和（ディスハーモニー） といいます。

また、代表的な調和に「 類似調和（るいじちょうわ） 」と「 対照調和（たいしょうちょうわ） 」があります。

類似調和（シミラリティ）

類似調和（シミラリティ） とは、「材質」「色合い」「形」など同質の要素の組み合わせで安定感や落ち着きをもたらす調和のことです。

出典：HCB.CAT

同一のインテリア空間内を「色合い」で類似調和させる場合は、無彩色以外の色を「4色」以内にしぼって使用するとまとまりのあるインテリアになります。

出典：CARA SAVEN

出典：Home Designing

対照調和（コントラスト）

対照調和（コントラスト） とは、正反対の要素を組み合わせて、相互の差異を強調することで力強く刺激的で個性的な印象を与える調和のことです。

出典：Home Lane

また、明度の正反対の要素を組み合わせた対照調和に「シンプルモダン（シンプル&モダン）」と呼ばれるスタイルがあります。

出典：small design ideas

均衡（バランス）

均衡（きんこう：バランス） とは、２つ以上の形や色合いが釣り合っている状態のことで、代表的なものに フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ 対称（シンメトリー） と 非対称（アシンメトリー） があります。

また、均衡が取れていない状態を 不均衡（ふきんこう：アンバランス） といいます。

対称（シンメトリー）

▲代表的なゴシック建築である『ミラノのドゥオーモ』はファサードが完全な対称となっている。

対称（シンメトリー） とは、中心の軸を境として左右が同一の造形となっている状態のことです。

垂直線を軸としたシンメトリーは静的な安定感や荘厳さがあり、点を中心とした 放射対称（ほうしゃたいしょう） は、動的変化に富んでいるのが特徴です。

出典：Wikimedia Commons

また、フランス庭園ではシンメトリーが基本となっています。

出典：Docca

非対称（アシンメトリー）

出典：Foster Travel Publishing

非対称（アシンメトリー） とは、中心の軸を境として左右が同一の造形となっていない状態のことです。

バロックやロココ期になると内装などでアシンメトリーの意匠が見られるようになり、同時期のイギリス「クイーン・アン様式」では非対称の建築が流行しました。

出典：Trip Savvy

出典：Sankei Biz

比例（プロポーション）

空間や物の形を決定する上で重視されるのが、部分と部分、あるいは全体と部分との数量的比例関係を意味する 比例（プロポーション） です。

出典：株式会社アーティス

黄金比（おうごんひ） とは、縦を「１」としたとき、横が「1.618」になる比率のことで、均整の取れた美しい形に見えることから「黄金」の名を冠して呼ばれています。

出典：Sky time

白銀比（ルート長方形）

出典：SEZAX

白銀比（はくぎんひ） とは、縦を「１」としたとき、横が「1.414（√２）」となる比率のことで、黄金比と並び均整の取れた美しい形とされています。

出典：松本洋紙店

白銀比は日本古来から好まれている比率で、法隆寺の金色堂や五重塔に使われているのは有名です。

ほかにも国内の寺社建築や仏像の顔、日本絵画など「日本人が美しいと感じる比率」として古くから用いられていて「 大和比（やまとひ） 」とも呼ばれています。

出典：株式会社アーティス

▲法隆寺の建立当時の設計士が白銀比を知っていたかどうかは定かで無い。近年ではスカイツリーにもこの比率が用いられている。 （第2展望台までの高さが448ｍと全高634ｍが 1 : 1.414 ）

白銀比は「１：√２」の長方形ですが、長辺が「√３」「√５」などの無理数にした長方形は総じて ルート長方形 と呼ばれます。

整数比（せいすうひ） とは、整数（※）で構成された「１：２：３・・・」「２：５」「３：７」などの比率のことです。

※整数（せいすう）とは

出典：Wikimedia Commons

級数比（きゅうすうひ） とは級数（※）の比率のことです。

※級数（きゅうすう）とは

級数比には「１：３：５：７：９・・・」（隣の数に２を足している）のように、次項目との差が一定な「等差級数（とうさきゅうすう）」や、「１：３：９：27：81・・・」（隣の数に３を掛けている）のように次項目との比が一定な「等比級数（とうひきゅうすう）」などがあります。

また、級数比の中でも「１：２：３：５：８：13：21：34・・・」のように、隣り合う整数の和が次の整数になるような数列を フィボナッチ数列 といい、数列が先に進むほど整数の比が黄金比に近づくという特徴があります。

▲フィボナッチ数列でも黄金長方形と同じような螺旋を描くことができ、数字を大きくなればなるほど黄金螺旋に近づく。

律動（リズム）

一定の間隔で、ある要素が規則的に繰り返し配列すると躍動感や変化をもたらしますが、このような手法を 律動（リズム） といいます。

律動は秩序ある連続的な色や形の変化で、同じ色や形が繰り返される 反復（リペティション） と色や形を少しずつ変化させる 階調（グラデーション） があります。

反復（リペティション）

反復（リペティション） とは、同じ要素が反復して繰り返される律動のことで、壁紙やタイルなどの繰り返される模様や、カーテンのヒダの繰り返しなどがあります。

出典：MissPrint

出典：MissPrint

階調（グラデーション）

階調（グラデーション） とは、虹のスペクトルのように段階的に色味に変化をつけた律動のことで、反復（リペティション）と同じように、さまざまなバリエーションがあります。

出典：CASAVOGUE

出典：ARCHITONIC

ハーブとフィボナッチ数列について解説しています。

「1、1、2、3、5,、8、 13、21、34、 55、89･･･」

植物の花びらを見ると、 ユリの花びらは3枚、桜や梅は5枚、コスモスは8枚、キク科植物は13枚、21枚、34枚、55枚 など、この 「フィボナッチ数列」 と呼ばれる数列に従って発生・成長しているものが多く見られます。

その他、 ひまわりの種の並びが螺旋状に21個、34個、55個、89個･･･となっていたり、葉の付き方や角度（葉序） 、 松ぼっくりのかさの並びやパイナップルの模様 、身近なところでは ピアノの１オクターブが黒鍵5鍵、白鍵8鍵で合計13鍵になっていたり フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ 、様々なところにフィボナッチ数列が登場しています。

フィボナッチ数列について

フィボナッチ数列とは、1,300年ほど前にインドの数学者が書物に記したものを紹介した イタリアのレオナルド＝フィボナッチ（Leonardo Fibonacci、Leonardo Pisano 1170年頃～1250年頃） にちなんで名づけられた数列で、彼は兎のつがいの問題を考案しました。

1か月目には1つがいの兎 が、 2か月目には2つがい になり、3か月目には最初のつがいが1つがいの兎を生むので、 3つがい になります。

これを繰り返していくと、 4か月目には5つがい 、 5か月目には8つがい になり、 増え方がフィボナッチ数列に従っている フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ ことが分かります。

フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ

産まれたばかり	生後1か月	生後2か月以降	つがいの合計
0か月後	1	0	0	1
1か月後	0	1	0	1
2か月後	1	0	1	2
3か月後	1	1	1	3
4か月後	2	1	2	5
5か月後	3	2	3	8
6か月後	5	3	5	13
7か月後	8	5	8	21
8か月後	13	8	13	34
9か月後	21	13	21	55
10か月後	34	21	34	89
11か月後	55	34	55	144
12か月後	89	55	89	233

黄金比と植物

このようにして数字を追いかけていくと、やがて 黄金比である1.618に近づいていく ことが分かります。

黄金比とは、二次方程式 x 2 − x − 1 = 0（１:ｘ-１＝ｘ:１ → ｘ（ｘ－1）＝1）の正の解 フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ で、 ギリシア文字の φ（ファイ）やτ（タウ） で表され、 優れた芸術作品や建築物にこの比率が見られるほか、名刺や用紙サイズに利用されるなどバランスのとれた比率 として知られています。

＜二次方程式 x 2 − x − 1 = 0 の解＞
x 2 -x-1=0
(x-1/2) 2 -1/4-1=0
(x-1/2) 2 -(5/4)=0（平方完成）
(x-1/2) 2 =(5/4)
x-(1/2)フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ =±√(5/4)
x=(1/2)±√(5/4)
x=(1/2)±(√5)/2
x=(1±√5)/2
x=±1.618033988749895

そして、 この黄金比で円周360度を2分した際の狭い方の角度を「黄金角」 と言うのですが、 植物の葉は光がまんべんなく当たるよう黄金角分に位置をずらして付いている ものが多く見られます（２／５葉序や３／８葉序）。

葉の付き方は「葉序（ようじょ）」と呼ばれており、どの程度の角度でずれるかは植物の種類によって決まっています。

このように、葉っぱの開度に級数的関係があることを シンパー・ブラウンの法則（Schimper‐Braun's Law） と言い、 ドイツの植物学者K.F．シンパー(1803～1867)とA．ブラウン(1805～1877)が1850年代に提唱 しました。

これは、 葉序の開度と全周の比がいずれも、「1/n、1/(n＋1)、2/(2n＋1)、3/(3n＋2)、5/(5n＋3)、8/(8n＋5)･･･ 」のような数列のうちのどれかに該当するという法則 で、「ｎ =２」とした主列「１／2、1／3、2／5、3／8･･･」は最も普通に見られる葉序なのですが、 これがフィボナッチ数列 になっており、「ｎ =２以外」の副列と区別されています。

１／２葉序･･･(３６０×１) ÷ ２＝１８０度
１／３葉序･･･(３６０×１) ÷ ３＝１２０度
２／５葉序･･･(３６０×２) ÷ ５＝１４４度
３／８葉序･･･(３６０×３) ÷ ８＝１３５度 フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ
５／１３葉序･･･(３６０×５) ÷ １３＝１３８．４６１５～度
８／２１葉序･･･(３６０×８) ÷ ２１＝１３７．１４２８～度

フィボナッチ数列を神聖視することへの疑問

ここまで、 フィボナッチ数列や黄金比、黄金角と植物の深い関連性 について見てきました。

しかし、実際には アブラナの花びらは4枚、サフランは6枚 だったり、7枚や11枚、18枚の花などの例外も多くあるほか、 葉序に関しても厳密には黄金角ではなくその近似値 となっており、 自然界すべてがフィボナッチ数列や黄金比に従っているわけではない です。

つまり、自然界はある程度フィボナッチ数列に沿っているものの、 すべての事象に関して単純に数学的な数式をもって自然やその根本を説明できるものではない ので、 特にフィボナッチ数列を神聖視する必要はありません 。

自然界の作り出す規則性を発見して楽しむ分には問題ない のですが、フィボナッチ数列を株価や為替の分析に使ったり、 「フィボナッチ馬券学で一攫千金！」などと競馬にまでフィボナッチ数列を使うような極端な例 も出てきています。

しかし、投資においては上昇や下落分の半値戻しや3分の2、3分の1戻しがセオリーとなっており、 たまたま0.618や0.382が3分の2や3分の1に近いだけというトリック で、フィボナッチ数列の数字を都合のいいように取り出せばいくらでも応用が利く状態になっています。

実際に投資をしてみれば分かりますが、0.618や0.382のような数値でぴったり反転することはまず無く、 それで儲かるなら億万長者ばかりになっている わけで、都合の良い時だけ引き合いに出される印象を受けます。

馬券に関しては、 馬番やオッズをフィボナッチ数列に照らし合わせて分析するなどとさらに意味不明なもの になっており、 「何でもかんでもフィボナッチ数列頼み」というのはリスクが伴うことに注意を払うべき だと思われます。

※なお、4、7、11、18･･･という並び方はフィボナッチ数列と類似した 「リュカ数列」 と呼ばれるもので、2、5、8、11、14･･･のように はじめの数に同じ数を次々と加えてできる「等差数列」 や、2、4、8、16、32･･･のように はじめの数に同じ数を次々と掛けてできる「等比数列」 などもあり、植物の規則的に成長する部分にはフィボナッチ数列でなくとも何らかの規則性が見いだせる可能性 （何でもこじつけできる） があります。

15歳女子が「フィボナッチ数列は２進数でも美しいのか」を考察 算数・数学の自由研究作品コンクール「MATHコン」で
日本数学検定協会賞を受賞

「日本数学検定協会賞」表彰の様子

塩野直道記念「算数・数学の自由研究」作品コンクールとは

京都府在住の15歳女子に「日本数学検定協会賞」を授与

「日本数学検定協会賞」受賞者の吉田 桃子さん

フィボナッチ数列を２進数に変換して規則性を探して考察した研究レポート

「日本数学検定協会賞」受賞者の吉田 桃子さんの発表の様子

塩野直道記念「算数・数学の自由研究」作品コンクール概要

名称：塩野直道記念 第５回「算数・数学の自由研究」作品コンクール（2017年度）
主催：一般財団法人 理数教育研究所
協賛：株式会社 内田洋行／株式会社 学研ホールディングス／公益財団法人 日本数学検定協会／カシオ計算機株式会社
後援：文部科学省／国立教育政策研究所／読売新聞社／公益財団法人 文字・活字文化推進機構／公益社団法人 全国珠算教育連盟／北海道教育委員会／札幌市教育委員会／旭川市教育委員会／函館市教育委員会／釧路市教育委員会／青森県教育委員会／青森市教育委員会／岩手県教育委員会／宮城県教育委員会／仙台市教育委員会／秋田県教育委員会／山形県教育委員会／福島県教育委員会／茨城県教育委員会／栃木県教育委員会／群馬県教育委員会／埼玉県教育委員会／さいたま市教育委員会／千葉県教育委員会／千葉市教育委員会／東京都教育委員会／神奈川県教育委員会／新潟県教育委員会／富山県教育委員会／石川県教育委員会／福井県教育委員会／長野県教育委員会／静岡県教育委員会／愛知県教育委員会／名古屋市教育委員会／三重県教育委員会／滋賀県教育委員会／京都府教育委員会／大阪府教育委員会／兵庫県教育委員会／奈良県教育委員会／和歌山県教育委員会／鳥取県教育委員会／鳥取市教育委員会／倉吉市教育委員会／島根県教育委員会／松江市教育委員会／出雲市教育委員会／浜田市教育委員会／益田市教育委員会／岡山県教育委員会／岡山市教育委員会／倉敷市教育委員会／山口県教育委員会／山口県小学校教育研究会／山口県中学校教育研究会／徳島県教育委員会／香川県教育委員会／高松市教育委員会／愛媛県教育委員会／高知県教育委員会／高知市教育委員会／福岡県教育委員会／福岡市教育委員会／北九州市教育委員会／佐賀県教育委員会／長崎県教育委員会／長崎市教育委員会／熊本県教育委員会／熊本市教育委員会／熊本県市町村教育委員会連絡協議会／大分県教育委員会／大分県市町村教育委員会連合会／宮崎県教育委員会／宮崎県市町村教育委員会連合会／鹿児島県教育委員会／鹿児島県市町村教育長会／沖縄県教育委員会／沖縄県市町村教育委員会連合会（順不同）
応募資格：小学生、中学生、高校生
※海外の日本人学校も含む。
※グループで応募する場合は、同学年の応募に限る。
審査：１.小学校の部 … 低学年の部（１～３年）、高学年の部（４～６年）に分けて審査。
２.中学校の部
３.高等学校の部（高等専門学校３年次までを含む）
中央審査委員：
委員長 根上 生也（横浜国立大学大学院 教授）
委員 銀島 文（国立教育政策研究所 総合研究官）
桜井 進（サイエンスナビゲーター（R））
島田 功（日本体育大学 教授）
中島 さち子（ジャズピアニスト、数学と音楽の研究者）
藤田 岳彦（中央大学 教授）
蒔苗 直道（筑波大学 准教授）
渡辺 美智子（慶応義塾大学大学院 教授） ※五十音順
賞：
＜最優秀賞＞
・塩野直道賞 全応募作品の中から、小学校低学年の部、小学校高学年の部、中学校の部、高等学校の部から各１作品
・文部科学大臣賞 全応募作品の中から１作品
・Rimse理事長賞 全応募作品の中から１作品
＜優秀賞＞
・読売新聞社賞 全応募作品の中から１作品
・内田洋行賞 全応募作品の中から１作品
・学研賞 全応募作品の中から１作品
・日本数学検定協会賞 全応募作品の中から１作品
＜特別賞＞
・審査委員特別賞 全応募作品の中から最大４作品
＜奨励賞＞
・Rimse奨励賞 小学校低学年の部、小学校高学年の部、中学校の部、高等学校の部から各最大10作品
応募期間：2017年８月20日（日）～2017年９月10日（日）（当日消印有効）
ホームページ：http://www.rimse.フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ or.jp/research/

【本コンクールに関するお問い合わせ先】
一般財団法人 理数教育研究所 「算数・数学の自由研究」係
＜大阪オフィス＞
〒543-0052 大阪市天王寺区大道4丁目3番23号
TEL 06-6775-6538 / FAX 06-6775-6515
＜東京オフィス＞
〒113-0023 東京都文京区向丘2丁目3番10号
TEL 03-3814-5204 フィボナッチ数列 （読み）ふぃぼなっちすうれつ / FAX 03-3814-2156
E-mail [email protected]

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